あなたが登録時に入力した個人情報は、各チャットレディサイトが厳重に保管、管理をしています。通常ではこの情報が漏洩したり無断で公開される事は一切考えられません。しかし、大企業でも個人情報流出が問題になっている時代なので、絶対にないとは言い切れない部分があるのも事実です。
どうしても心配な方は、登録をする前に直接個人情報の管理体制やセキュリティーについて問い合わせてみるのも良いと思います。また、各求人ページ内には、個人情報の取り扱いの際の基準・方針を掲げたプライバシーポリシーのページがあるので、事前に目を通して置いてください。
ちなみに、お仕事の際に名乗る名前や年齢、住所などはすべて架空の物を利用して働けるようになっているので、公開プロフィール等から相手の男性の方に、自分の所在地等がバレる心配はありません。